Jak to vypočítat? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Příklad

Jak to vypočítat? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Příklad
Anonim

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Funkce uvnitř integrálu se bohužel nebude integrovat s něčím, co nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. K tomu budete muset použít numerické metody.

Dokážu vám ukázat, jak používat sériovou expanzi, abyste získali přibližná hodnota.

Začněte geometrickou řadou:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = součet (n = 0) ^ oor ^ n # pro # rlt1 #

Nyní se integrujte s ohledem na # r # a používání limitů #0# a #X# získat:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integrace levé strany:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Nyní integrujte pravou stranu integrací výrazu podle termínu:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Z toho vyplývá, že:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Nyní se dělej #X#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Takže nyní máme mocninový výraz pro funkci, se kterou jsme původně začali. Nakonec se můžeme opět integrovat, abychom získali:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Integrace pravého výrazu s termínem nám dává:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Vyhodnocení limitů na čtyři termíny nám poskytne přibližnou hodnotu:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Nyní je to jen čtyři termíny. Pokud byste chtěli přesnější číslo jednoduše použít více termínů v sérii. Například jít do 100. období:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Pokud odložíte stranou, pokud pracujete přes stejný proces, ale použijete zápis sčítání (tj. Spíše s velkým sigma než psaním podmínek série), zjistíte, že:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

což je právě funkce Riemann-Zeta 2, tj.

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Vlastně již známe hodnotu tohoto: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Přesná hodnota integrálu tedy může být odvozena jako:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #