Odpovědět:
Viz. níže.
Vysvětlení:
Funkce uvnitř integrálu se bohužel nebude integrovat s něčím, co nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. K tomu budete muset použít numerické metody.
Dokážu vám ukázat, jak používat sériovou expanzi, abyste získali přibližná hodnota.
Začněte geometrickou řadou:
Nyní se integrujte s ohledem na
Integrace levé strany:
Nyní integrujte pravou stranu integrací výrazu podle termínu:
Z toho vyplývá, že:
Nyní se dělej
Takže nyní máme mocninový výraz pro funkci, se kterou jsme původně začali. Nakonec se můžeme opět integrovat, abychom získali:
Integrace pravého výrazu s termínem nám dává:
Vyhodnocení limitů na čtyři termíny nám poskytne přibližnou hodnotu:
Nyní je to jen čtyři termíny. Pokud byste chtěli přesnější číslo jednoduše použít více termínů v sérii. Například jít do 100. období:
Pokud odložíte stranou, pokud pracujete přes stejný proces, ale použijete zápis sčítání (tj. Spíše s velkým sigma než psaním podmínek série), zjistíte, že:
což je právě funkce Riemann-Zeta 2, tj.
Vlastně již známe hodnotu tohoto:
Přesná hodnota integrálu tedy může být odvozena jako: