Můžete léčit # i # jako každá konstanta jako #C#. Takže derivace # i # bylo by #0#.
Když se však jedná o komplexní čísla, musíme být opatrní s tím, co můžeme říci o funkcích, derivátech a integrálech.
Vezměte si funkci #f (z) #, kde # z # je komplexní číslo (tj. #F# má komplexní doménu). Pak derivace #F# je definován podobným způsobem jako skutečný případ:
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) #
kde # h # je nyní komplexní číslo. Když vidíme, že složitá čísla lze považovat za ležet v rovině, nazývané složité letadlo, máme za to, že výsledek tohoto limitu závisí na tom, jak jsme se rozhodli udělat. # h # jít do #0# (to znamená, s jakou cestou jsme se rozhodli tak učinit).
V případě konstanty #C#Je snadné vidět, že je to derivát #0# (důkaz je analogický skutečnému případu).
Jako příklad si vezměte #F# být #f (z) = bar (z) #, to znamená, #F# trvá složité číslo # z # do jeho konjugátu #bar (z) #.
Potom derivace #F# je
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h až 0) (bar (z + h) -bar (z)) / (h) = lim_ (h až 0) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h až 0) (sloupec (h)) / (h) #
Zvažte to # h # jít do #0# používat pouze reálná čísla. Protože komplexní konjugát reálného čísla je sám o sobě, máme:
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h až 0) h / h = = lim_ (h až 0) 1 = 1 #
Udělej to # h # jít do #0# používající pouze čistá imaginární čísla (čísla formuláře # ai #). Od konjugace čistého imaginárního čísla # w # je # -w #, my máme:
# f ^ prime (z) = lim_ (h až 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h až 0) -h / h = = lim_ (h až 0) -1 = -1 #
A proto #f (z) = bar (z) # nemá žádný derivát.
