Co je druhá odmocnina sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Odpovědět:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

za předpokladu, že alespoň dva z následujících držáků:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Vysvětlení:

Všimněte si, že:

# (x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# = barva (červená) (zrušení (barva (černá) (x ^ 2)) - barva (červená) (zrušení (barva (černá) (x ^ 2)) + barva (fialová) (zrušení (barva) (y ^ 2))) - barva (fialová) (zrušení (barva (černá) (y ^ 2)) + barva (fialová) (zrušení (barva (černá) (z ^ 2)) - barva (fialová)) (zrušit (barva (černá) (z ^ 2)) = 0 #

Podívejme se, co se stane, když se postavíme:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

jak budou čtvercové výrazy zrušeny …

# (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = barva (červená) (zrušit (barva (černá) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #)

Takže druhá odmocnina, kterou chceme, je:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#barva bílá)()#

Poznámky

Výše uvedená odpověď předpokládá, že:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

I když to drží, pokud alespoň jeden z #a, b # je non-negativní, selže, pokud jsou oba negativní.

To se může stát ve výše uvedeném odvození, pokud například:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Pak zjistíme:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… opačným znamením z toho, co potřebujeme.