Jaká je pravděpodobnost výhry v následující nekonečně opakované hře?

Odpovědět:

# "Odpověď D)" #

Vysvětlení:

# "Je to jediná logická odpověď, ostatní jsou nemožné."

# "Toto je problém s hazardem hráče."

# "Hráč začíná s dolarem."

# "Hraje, dokud nedosáhne G dolaru nebo nepadne na 0."

#p = "šance, že vyhraje 1 dolar v jedné hře."

#q = 1 - p = "šance, že ztratí 1 dolar v jedné hře."

# "Volajte" r_k "pravděpodobnost, že se zničí."

# "Pak máme" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "s" 1 <= k <= G-1 #

# "Tuto rovnici můžeme přepsat v důsledku p + q = 1 takto:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Tady máme případ" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Pro" r_k "máme" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Takže hráč A začíná zde s k = dolarem a hraje do" #

# "zničí nebo má + b dolar."

# => k = a, "a" G = a + b #

# "Takže šance, že se zničí, jsou" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Kurz, který vyhraje, je" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Odpověď D)" #