Dovolit být N nejmenší celé číslo s 378 děliteli. Pokud N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, jaká je hodnota {a, b, c, d} v NN?

Odpovědět:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Vysvětlení:

Dáno číslo # n # s primární faktorizací #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, každý dělitel # n # je formuláře # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # kde #beta_i v {0, 1, …, alpha_i} #. Jak je # alpha_i + 1 # pro každého # beta_i #, počet dělitelů. t # n # darováno

# (alfa_1 + 1) (alfa_2 + 1) … (alfa_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Tak jako # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, počet dělitelů. t # N # darováno # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Naším cílem je tedy najít #(abeceda)# takový výrobek má a # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # je minimální. Vzhledem k tomu, že se minimalizujeme, předpokládáme od tohoto bodu dále #a> = b> = c> = d # (kdyby tomu tak nebylo, mohli bychom vyměnit exponenty za menší výsledek se stejným počtem dělitelů).

Všiml jsem si toho # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #můžeme zvážit možné případy, ve kterých #378# je psán jako produkt čtyř celých čísel # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Můžeme si je prohlédnout, abychom zjistili, pro které výsledky je nejmenší výsledek # N #.

Formát: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (červená) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Můžeme tady zastavit, protože nějaké další případy budou mít nějaké #k_i> = 27 #, dávat # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~ ~ 6.7xx10 ^ 7 #, který je již větší než náš nejlepší případ.

Podle výše uvedené práce, pak #(abeceda)# který produkuje minimální # N # s #378# dělitelů # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, dávat #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #