Nechť p je non singulární matice 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O označuje nulovou matici), pak p ^ -1 je?

Nechť p je non singulární matice 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O označuje nulovou matici), pak p ^ -1 je?
Anonim

Odpovědět:

Odpověď je = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) =(I+p+pn1)

Vysvětlení:

Víme, že

p ^ -1p = I p1p=I

I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O I+p+p2+p3..pn=O

Vynásobte obě strany podle p ^ -1 p1

p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O p1(1+p+p2+p3..pn)=p1O

p ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O p11+p1p+p1p2+p1pn=O

p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O p1+(p1p)+(p1pp)+(p1ppn1)=O

p ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O p1+(I)+(Ip)+(Ipn1)=O

Proto, p ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) p1=(I+p+pn1)

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 p(p1+p+p2++pn1)=0 ale p p hypotézou není singulární a pak existuje p ^ -1 p1 tak

p ^ -1p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdoty + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 p1p(p1+p+p2+y+pn1)=p1+p+p2++pn1=0

a nakonec

p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k p1=n1k=1pk

Také může být vyřešen jako

p ^ -1 = -p (sum_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) p1=p(n2k=0pk)=p(pn1+pn)=pn(1p)