Jak najdete reprezentaci mocninných řad pro (arctan (x)) / (x) a jaký je poloměr konvergence?

Odpovědět:

Integrujte výkonovou řadu derivátu #arctan (x) # pak se dělí #X#.

Vysvětlení:

Známe mocninové reprezentace # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # takové #absx <1 #. Tak # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Takže mocninové řady #arctan (x) # je #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Dělíte to #X#, zjistíte, že mocnina série #arctan (x) / x # je #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Řekněme #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Abychom mohli najít poloměr konvergence této výkonové řady, vyhodnocujeme #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Takže pokud chceme, aby se mocninové řady sblížily, potřebujeme #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, takže série se sblíží, pokud #absx <1 #, což není překvapující, protože je to poloměr konvergence reprezentace výkonových řad #arctan (x) #.

Poloměr většího kruhu je dvakrát tak dlouhý jako poloměr menšího kruhu. Plocha koblihy je 75 pi. Najděte poloměr menšího (vnitřního) kruhu.

Menší poloměr je 5 Nechť r = poloměr vnitřního kruhu. Pak je poloměr většího kruhu 2r. Z reference získáme rovnici pro oblast prstence: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) Náhradník 2r pro R: A = pi ((2r) ^ 2- r ^ 2) Zjednodušte: A = pi ((4r ^ 2- r ^ 2) A = 3pir ^ 2 Náhradník v dané oblasti: 75pi = 3pir ^ 2 Rozdělte obě strany o 3pi: 25 = r ^ 2 r = 5

Jaký je poloměr konvergence pro tuto mocninu? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots = součet (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k ale sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Nyní vzhledem k abs z <1 máme součet (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) a int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) nyní provádí substituci z -> - z máme -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z), takže je konvergentní pro abs z <1

Objem, V, v kubických jednotkách válce je dán V = πr ^ 2 h, kde r je poloměr a h je výška, oba ve stejných jednotkách. Najděte přesný poloměr válce o výšce 18 cm a objemu 144p cm3. Vyjádřete svou odpověď v nejjednodušším případě?

R = 2sqrt (2) Víme, že V = hpir ^ 2 a víme, že V = 144pi a h = 18 144pi = 18pir ^ 2 144 = 18r ^ 2 r ^ 2 = 144/18 = 8 r = sqrt (8 ) = sqrt (4 * 2) = sqrt (4) sqrt (2) = 2sqrt (2)