Jak si ověřujete následující identitu?

Jak si ověřujete následující identitu?
Anonim

Odpovědět:

Použijte několik trig identit a spoustu zjednodušení. Viz. níže.

Vysvětlení:

Při řešení takových věcí # cos3x #, to pomáhá zjednodušit to na goniometrické funkce jednotky #X#; něco podobného # cosx # nebo # cos ^ 3x #. Můžeme použít pravidlo součtu pro kosinus, abychom toho dosáhli:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Od té doby # cos3x = cos (2x + x) #, my máme:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Nyní můžeme nahradit # cos3x # s výše uvedeným výrazem:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Větší zlomek můžeme rozdělit na dvě menší frakce:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Všimněte si, jak kosiny zruší:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) zrušit (cosx) / zrušit (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Nyní přidejte # sin ^ 2x-sin ^ 2x # na levou stranu rovnice (což je totéž jako přidání #0#). Úvaha za tím bude jasná za minutu:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Změnit uspořádání podmínek:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2s ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Použijte Pythagorean Identity # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # a kombinovat # sin ^ 2x #s v závorkách:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Vidíte, že náš malý trik přidání # sin ^ 2x-sin ^ 2x # dovolil nám používat Pythagorean Identity a sbírat # sin ^ 2x # podmínky.

A voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.