Jak si ověřujete následující identitu?

Jak si ověřujete následující identitu?
Anonim

Odpovědět:

Použijte několik trig identit a spoustu zjednodušení. Viz. níže.

Vysvětlení:

Při řešení takových věcí cos3x , to pomáhá zjednodušit to na goniometrické funkce jednotky X; něco podobného cosx nebo cos ^ 3x . Můžeme použít pravidlo součtu pro kosinus, abychom toho dosáhli:

cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta

Od té doby cos3x = cos (2x + x) , my máme:

cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx

= (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)

Nyní můžeme nahradit cos3x s výše uvedeným výrazem:

(cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x

((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x

Větší zlomek můžeme rozdělit na dvě menší frakce:

((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x

Všimněte si, jak kosiny zruší:

((cos ^ 2x-sin ^ 2x) zrušit (cosx) / zrušit (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x

-> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x

Nyní přidejte sin ^ 2x-sin ^ 2x na levou stranu rovnice (což je totéž jako přidání 0). Úvaha za tím bude jasná za minutu:

cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x

Změnit uspořádání podmínek:

cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2s ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x

Použijte Pythagorean Identity sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 a kombinovat sin ^ 2x s v závorkách:

1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x

Vidíte, že náš malý trik přidání sin ^ 2x-sin ^ 2x dovolil nám používat Pythagorean Identity a sbírat sin ^ 2x podmínky.

A voila:

1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x

Q.E.D.