Máte 76 metrů oplocení plotu ve dvoře. Plocha musí mít pravoúhlé rohy. Můžete použít stranu svého domova, která je dlouhá 85 metrů. Co je největší, můžete plout?

Odpovědět:

Maximální plocha = 722 čtverečních stop

Vysvětlení:

Pracujeme s obdélníkem. Jedna strana může být dlouhá 85 ft, ale to je delší než celá délka oplocení, takže budeme samozřejmě používat pouze část stěny a oplocení bude použito pro tři strany obdélníku.

Nechť je jedna strana #X#. Ostatní strany budou #X# a # (76-2x) #

#Area = l xx b = x (76-2x) #

#Area = 76x - 2x ^ 2 #

# (dA) / (dx) = 76 - 4x # # barva (bílá) (xxxxxx) # pro max # (dA) / (dx) = 0 #

# 76 - 4x = 0 #

# 76 = 4x #

#x = 19 #

Rozměry jsou proto 38 stop o 19 stop, což dává plochu 722 metrů čtverečních

Řekněme, že mám 480 dolarů na plot v obdélníkové zahradě. Oplocení pro severní a jižní stranu zahrady stojí $ 10 za stopu a oplocení na východní a západní straně stojí $ 15 za stopu. Jak mohu najít rozměry největší možné zahrady?

Zavolejme délku stran N a S x (nohy) a další dva zavoláme y (také ve stopách). Pak budou náklady na plot: 2 * x * $ 10 pro N + S a 2 * y * $ 15 pro E + W Pak bude rovnice pro celkové náklady na plot: 20x + 30y = 480 Oddělíme y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Plocha: A = x * y, nahrazující y v rovnici, kterou dostaneme: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Abychom našli maximum, musíme tuto funkci rozlišit a pak nastavit derivaci na 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Která řeší x = 12 Substituce v dřívější rovnici y = 16-2 / 3 x = 8 Od

Čtyřicet metrů oplocení je třeba uzavřít čtvercové pole. Jaká plocha může být uzavřena stejnou délkou oplocení, pokud je kryt kruhový?

= 40000 / pi m ^ 2 ~ ~ 12732.395 m ^ 2 Délka oplocení je 400m. Musíme tedy najít oblast kruhu s obvodem ~ ~ 400m. Všimněte si, že vzhledem k transcendentální povaze pi nelze přesnou hodnotu vypočítat. 2pir = 400 implikuje r = 200 / pi Plocha kruhu se rovná pir ^ 2 = pi (200 / pi) ^ 2 = pi (40000) / pi ^ 2 = 40000 / pi m ^ 2 ~ ~ 12732,395 m ^ 2

Máte 500 metrů dlouhé oplocení a velké pole. Chcete postavit obdélníkové hřiště. Jaké jsou rozměry největšího dvora? Jaká je největší plocha?

Viz vysvětlení Nechť x, y strany obdélníku proto obvod je P = 2 * (x + y) => 500 = 2 * (x + y) => x + y = 250 Plocha je A = x * y = x * (250-x) = 250x-x ^ 2 nalezení první derivace, kterou dostaneme (dA) / dx = 250-2x, tedy kořen derivace nám dává maximální hodnotu, tedy (dA) / dx = 0 = > x = 125 a my máme y = 125 Odtud je největší plocha x * y = 125 ^ 2 = 15,625 ft ^ 2 Tato oblast je zřejmě čtverec.