Jaká je rovnice ve standardní formě paraboly se zaměřením na (42, -31) a přímkou y = 2?

Odpovědět:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # standardní forma

Vysvětlení:

Všimněte si prosím, že directrix je vodorovná čára

#y = 2 #

Parabola je tedy typ, který se otevírá směrem nahoru nebo dolů; vertexová forma rovnice pro tento typ je:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

Kde # (h, k) # je vrchol a #F# je podepsaná svislá vzdálenost od vrcholu k fokusu.

Souřadnice x vrcholu je stejná jako souřadnice x fokusu:

#h = 42 #

Nahradit #42# pro # h # do rovnice 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

Souřadnice y vrcholu je na půli cesty mezi přímkou a ohniskem:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Nahradit #-29/2# pro # k # do rovnice 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Rovnice k nalezení hodnoty #F# je:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Nahradit #-33/2# pro #F# do rovnice 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Zjednodušte zlomek:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Rozbalte čtverec:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Rozdělte zlomek:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Kombinovat podobné výrazy:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # standardní forma

Odpovědět:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Vysvětlení:

To vyřešíme Problém pomocí následujícího Focus-Directrix

Vlastnost (FDP) z Parabola.

FDP: Jakýkoliv bod na a Parabola je stejně vzdálený od

Soustředit se a Directrix.

Nechte to # F = F (42, -31), "a řádek" d: y-2 = 0, # být

Soustředit se a Directrix z Parabola, řekněme S.

Nechat, # P = P (x, y) v S, # být nějaká Obecný bod.

Potom pomocí Vzorec vzdálenosti, máme, vzdálenost,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1).

Vím, že # bot- #dist. mezi bodem # (k, k), # a řádek:

# ax + o + c = 0, # je, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # zjistíme, že

# "" bot-"dist. btwn" P (x, y), &, d "je," | y-2 | ………….. (2). #

Podle FDP, # (1) a (2), # my máme, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, nebo, #

# (x-42) 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) 2 = -66y-957, tj. #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957.

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # který, v Standardní forma, čte, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

tak jako Respektováno Douglas K. Pane již odvozen!

Užijte si matematiku!