Co je int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Odpovědět:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Vysvětlení:

Toto vysvětlení je trochu dlouhé, ale nemohl jsem najít rychlejší způsob, jak to udělat …

Integrál je lineární aplikace, takže můžete funkci rozdělit pod integrální znak.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

První dva termíny jsou polynomiální funkce, takže se snadno integrují. Ukážu vám, jak na to # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # tak # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Uděláš přesně to samé # x ^ 3 #, výsledek je #255/4#.

Nález #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # je trochu dlouhá a komplikovaná. Nejprve vynásobte zlomek podle #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # a pak změníte proměnnou: řekněme #u = sqrt (x-1) #. Tak # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # a teď musíte najít # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. K jeho nalezení potřebujete částečný rozpad racionální funkce # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # s # a, b, c, d v RR #. Po kalkulu to zjistíme # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, což znamená, že # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # je dobře známo, to je #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Konečně, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2)) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Nahraďte # u # svým původním výrazem #X# mít #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, který je #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Konečně, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #