Jaký je limit x x 0 (1 + 2x) ^ cscx?

Odpověď je # e ^ 2 #.

Úvaha není tak jednoduchá. Nejprve musíte použít trik: a = e ^ ln (a).

Proto, # (1 + 2x) ^ (1 / sinx) = e ^ u #, kde

# u = ln ((1 + 2x) ^ (1 / sinx)) = ln (1 + 2x) / sinx #

Proto, as # e ^ x # je spojitá funkce, můžeme přesunout limit:

#lim_ (x-> 0) e ^ u = e ^ (lim_ (x-> 0) u) #

Pojďme spočítat limit # u # jak x se blíží 0. Bez jakékoliv věty, výpočty by byly těžké. Proto používáme de l'Hospitalův teorém jako limit #0/0#.

#lim_ (x-> 0) f (x) / g (x) = lim_ (x-> 0) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Proto,

#lim_ (x-> 0) ln (1 + 2x) / sinx = 2 / (2x + 1) / cos (x) = 2 / ((2x + 1) cosx) = 2 #

A pak, když se vrátíme k původnímu limitu # e ^ (lim_ (x-> 0) u) # a vložte 2, dostaneme výsledek # e ^ 2 #,