Otázka # 92256

Odpovědět:

Viz vysvětlení

Vysvětlení:

Rozdělte na dvě části, nejprve vnitřní část:

# e ^ x #

To je pozitivní a zvyšuje se pro všechna reálná čísla a jde od 0 do # oo # tak jako #X# jde od # -oo # na # oo #

Máme:

#arctan (u) #

Má pravou horizontální asymptotu na # y = pi / 2 #. Jdeme od # u = 0 rarr oo #, v # u = 0 # tato funkce je pozitivní a zvyšuje se nad touto doménou, má hodnotu 0 na # u = 0 #, hodnota # pi / 4 # v # u = 1 # a hodnotu # pi / 2 # v # u = oo #.

Tyto body se tedy dostanou do tahu # x = -oo, 0, oo # Výsledkem je graf, který vypadá takto:

graf {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Což je pozitivní část # arctan # funkce se táhne po celé reálné linii, přičemž levá hodnota se natáhne do vodorovné asymptoty na # y = 0 #.

Odpovědět:

Viz vysvětlení

Vysvětlení:

Doména je # RR #

Symetrie

Ani s ohledem na #X# osa ani w.r.t původ.

#arctan (e ^ (- x)) # nezjednodušuje #arctan (e ^ x) #

ani na # -arctan (e ^ x) #

Zachycení

#X# zachycení: žádné

Nemůžeme se dostat #y = 0 # to by vyžadovalo # e ^ x = 0 #

Ale # e ^ x # nikdy není #0#, pouze se blíží #0# tak jako # xrarr-oo #.

Tak, # yrarr0 # tak jako # xrarr-oo # a #X# osa vodorovná

asymptota vlevo.

# y # zachytit: # pi / 4 #

Když # x = 0 #, dostaneme #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asymptoty:

Vertikální: žádné

# arctan # je mezi # -pi / 2 # a # pi / 2 # podle definice, takže nikdy nejde # oo #

Horizontální:

Vlevo, odjet: # y = 0 # jak je popsáno výše

Že jo: # y = pi / 2 #

Víme, že # thetararrpi / 2 # s #theta <pi / 2 #, dostaneme #tantheta rarr oo #

tak, jako # xrarroo #, dostaneme # e ^ x rarroo #, tak # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

První derivace

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # nikdy není #0# a nikdy nedefinováno, takže neexistují žádná kritická čísla.

Pro každého #X# my máme #y '> 0 # tak se funkce zvyšuje # (- oo, oo) #

Neexistují žádné lokální extrémy.

Druhá derivace

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # není nikdy nedefinováno a je #0# v # x = 0 #

Znamení #y '' #:

Na # (- oo, 0) #, dostaneme # e ^ (2x) <1 # tak #y ''> 0 # a graf je konkávní

Na # (0, oo) #, dostaneme # e ^ (2x)> 1 # tak #y '' <0 # a graf je konkávní dolů

Konvexita se mění na # x = 0 #, takže inflexní bod je:

# (0, pi / 4) #

Nyní nakreslete graf