Jaký je jednotkový vektor, který je normální k rovině obsahující (i + k) a (i + 2j + 2k)?

Odpovědět:

#vecn = 2 / 3i + 1 / 3j -2 / 3k #

Vysvětlení:

Vektor, který hledáme, je #vec n = aveci + bvecj + cveck # kde #vecn * (i + k) = 0 # A #vecn * (i + 2j + 2k) = 0 #, od té doby # vecn # je kolmá na oba tyto vektory.

Pomocí této skutečnosti můžeme vytvořit systém rovnic:

#vecn * (i + 0j + k) = 0 #

# (ai + bj + ck) (i + 0j + k) = 0 #

# a + c = 0 #

#vecn * (i + 2j + 2k) = 0 #

# (ai + bj + ck) * (i + 2j + 2k) = 0 #

# a + 2b + 2c = 0 #

Teď máme # a + c = 0 # a # a + 2b + 2c = 0 #, takže můžeme říci, že:

# a + c = a + 2b + 2c #

# 0 = 2b + c #

#therefore a + c = 2b + c #

#a = 2b #

# a / 2 = b #

Teď to víme #b = a / 2 # a #c = -a #. Náš vektor je tedy:

#ai + a / 2j-ak #

Nakonec je třeba, aby byl tento jednotkový vektor, což znamená, že každý koeficient vektoru musíme rozdělit jeho velikostí. Velikost je:

# | vecn | = sqrt (a ^ 2 + (a / 2) ^ 2 + (- a) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (9 / 4a ^ 2) #

# | vecn | = 3 / 2a #

Náš jednotkový vektor je tedy:

#vecn = a / (3 / 2a) i + (a / 2) / (3 / 2a) j + (-a) / (3 / 2a) k #

#vecn = 2 / 3i + 1 / 3j -2 / 3k #

Konečná odpověď