Jak vyřešíte polynomiální nerovnost a uvedete odpověď v intervalu, který je dán x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Odpovědět:

Nerovnost je kvadratická ve formě.

Vysvětlení:

Krok 1: Na jedné straně vyžadujeme nulu.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Krok 2: Protože levá strana sestává z konstantního termínu, středního termínu, a termín jehož exponent je přesně zdvojený to na středním termínu, tato rovnice je kvadratická “ve formě.” T Buď to činíme jako kvadratické, nebo používáme kvadratický vzorec. V tomto případě jsme schopni faktor.

Stejně jako # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, teď máme

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Léčíme # x ^ 3 # jako by to byla jednoduchá proměnná, y.

Pokud je to užitečnější, můžete nahradit #y = x ^ 3 #, pak řešit y, a nakonec nahradit zpět do x.

Krok 3: Nastavte každý faktor rovný nule a vyřešte rovnici # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Zjistíme, kde se levá strana rovná nule, protože tyto hodnoty budou hranicemi naší nerovnosti.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = root (3) 2 #

To jsou dva skutečné kořeny rovnice.

Oddělují skutečnou čáru do tří intervalů:

# (- oo, -root (3) 3); (-root (3) 3, kořen (3) 2); a (kořen (3) 2, oo) #.

Krok 4: Určete znaménko levé strany nerovnosti v každém z výše uvedených intervalů.

Použití zkušebních bodů je obvyklá metoda. Vyberte hodnotu z každého intervalu a nahraďte ji x na levé straně nerovnosti. Můžeme si vybrat -2, pak 0 a pak 2.

Zjistíte, že levá strana je

pozitivní # (- oo, -root (3) 3) #;

negativní # (- kořen (3) 3, kořen (3) 2) #;

a pozitivní # (kořen (3) 2, oo) #.

Krok 5: Dokončete problém.

Máme zájem vědět, kde # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Nyní víme, kde se levá strana rovná 0 a víme, kde je pozitivní. Tyto informace zapište ve formě intervalu jako:

# (- oo, -root (3) 3 uu kořen (3) 2, oo #.

POZNÁMKA: Máme závorky, protože obě strany nerovnosti jsou v těchto bodech stejné a původní problém vyžaduje, abychom zahrnout těchto hodnot. Měl problém #># namísto # ge #použili bychom závorky.