Pokud f (x) = x tan ^ -1ten f (1) je co?

Odpovědět:

# f (1) # kde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Vysvětlení:

Předpokládám, že otázka je #f (1) # kde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Za normálních okolností bych léčil # arctan # jako vícehodnotové. Ale tady s explicitní funkcí notace #f (x) # Řeknu, že chceme hlavní hodnotu inverzní tangenty. Úhel s tečnou 1 v prvním kvadrantu je # 45 ^ circ # nebo # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

To je konec. Ale pojďme tuto otázku stranou a zaměřme se na to, co #arctan t # opravdu znamená.

Obvykle si to myslím #tan ^ -1 (t) # nebo rovnocenně (a myslím, že lepší zápis) #arctan (t) # jako vícehodnotový výraz. Arctan "funkce" není ve skutečnosti funkcí, protože je to inverze k čemusi periodickému, který nemůže mít ve své doméně opravdu inverzi.

To je pro studenty a učitele opravdu matoucí. Najednou máme věci, které vypadají jako funkce, které nejsou ve skutečnosti funkční. Jsou trochu vklouznutí pod radar. Pro jejich řešení jsou nutná nová pravidla, ale nikdy nejsou výslovně uvedena. Matematika začíná být fuzzy, když by neměla.

# x = arctan t # nejlepší řešení #tan x = t. Je jich početně nekonečný počet, jeden za období. Tangent má období # pi # takže řešení jsou # pi # od sebe, což je místo, kde #pi k # pochází z, celé číslo # k #.

Obvykle píšu hlavní hodnotu inverzní tangenty jako Arctan, s kapitálem A. Bohužel, Socratic si ji „opravuje“. Budu to tady vymýšlet:

#t = tan x # má řešení

#x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad # pro celé číslo # k #.