Odpovědět:
Začít s
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) #
Nahradíme secant kosinusem.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Teď jsme se derivace wrt x na obě strany!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Derivace konstanty je nulová a derivace je lineární!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Nyní používáme pravidlo produktu pouze na prvních dvou termínech, které dostaneme!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Další spousta legrace s pravidlem řetězu! Podívejte se na poslední termín!
(také dělá jednoduché x deriváty)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Dělat některé ty y deriváty, xy deriváty a cos (xy) deriváty také dělat pravidlo produktu a řetězcové pravidlo ještě jednou na poslední části posledního termínu.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Udělejte trochu a dokončete všechny deriváty
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Nyní oddělit do termínu s # dx / dy # a bez
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Přineste vše bez # dy / dx # na jedné straně a sběr jako termíny na straně druhé
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Rozdělte se, abyste ho našli # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / (xy)} #
To bylo velmi dlouhé!
Vysvětlení:
Šlo s velmi dlouhým vysvětlením s jednoduchým příkladem, protože implicitní diferenciace může být složitá a řetězové pravidlo je velmi důležité.
Musíte použít asi tři pravidla BIG Calculus k vyřešení tohoto a tří specifických funkcí derivace.
1) Linearita derivátu.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Pravidlo výrobku.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Nejdůležitějším konceptem implicitní diferenciace je zdaleka
řetězového pravidla. Pro složené funkce, funkce jiných funkcí, #f (u (x)) # my máme, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Můžete s tím pokračovat
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, a dále a dál a dál. Poznámka # dx / dx = 1 #.
Příklad: Pokud máte funkci funkce #f (u) # kde # u # je funkce #X#. tj #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Tady #f (u) = sqrt (u) # a #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # odvolání # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Výrazy pro specifické typy funkcí.
A) Jak vzít derivaci mocenských funkcí, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Jak vzít derivaci # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- nudný eh?
C) Jak vzít derivaci # (x) # protože # s (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Klíčem k implicitní diferenciaci je použití řetězového pravidla, aby se derivace wrt x a funkce obou x a y, jako kruh.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
