Řešte prosím q 11?

Odpovědět:

Najděte minimální hodnotu # 4 cos theta + 3 sin theta. #

Lineární kombinace je fázově posunutá a škálovaná sinusová vlna, měřítko určené velikostí koeficientů v polární formě, # {{^ ^ 2 + 4 ^ 2} = 5, # tak minimálně #-5#.

Vysvětlení:

Najděte minimální hodnotu # 4 cos theta + 3 sin theta #

Lineární kombinace sinus a cosine stejného úhlu je fázový posun a škálování. Rozeznáváme Pythagorean Triple #3^2+4^2=5^2.#

Nechat # phi # být takový úhel #cos phi = 4/5 # a #sin phi = 3/5 #. Úhel # phi # je hlavní hodnota #arctan (3/4) # ale na tom nezáleží. Na čem nám záleží, můžeme přepsat naše konstanty: # 4 = 5 cos phi # a # 3 = 5 sin phi #. Tak

# 4 cos theta + 3 sin theta #

# = 5 (cos phi cos theta + sin phi sin theta) #

# = 5 cos (theta - phi) #

tak má minimálně #-5#.

Odpovědět:

#-5# je požadovaná minimální hodnota.

Vysvětlení:

Vydělte rovnici # 3sinx + 4cosx # podle #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # snížit na formulář #sin (x + -alpha) nebo cos (x + -alpha) # kde #A# a # b #

jsou koeficienty # sinx # a # cosx # resp.

# rarr3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * (3/5) + cosx * (4/5) #

Nechat # cosalpha = 3/5 # pak # sinalpha = 4/5 #

Nyní, # 3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * cosalpha + cosx * sinalpha #

# = 5sin (x + alfa) = 5sin (x + alfa) #

Hodnota # 5sin (x + alfa) # bude minimální, když #sin (x + alpha #)) je minimální a minimální hodnota #sin (x + alpha) # je #-1#.

Takže minimální hodnota # 5sin (x + alfa) = - 5 #