Jak integrujete e ^ x * cos (x)?

Odpovědět:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Vysvětlení:

Bude nutné použít integraci dvakrát.

Pro #u (x) a v (x) #, IBP je dán

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

Nechat #u (x) = cos (x) implikuje u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x znamená v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + barva (červená) (inte ^ xsin (x) dx) #

Nyní používejte IBP na červený termín.

#u (x) = sin (x) implikuje u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x znamená v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x) dx #

Seskupte integrály dohromady:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + sin (x)) + C #

Proto

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Nechat # I = inte ^ xcosxdx #

Používáme, Pravidlo integrace částí #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Bereme, # u = cosx a, v = e ^ x #.

Proto, # (du) / dx = -sinx a intvdx = e ^ x #. Proto, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = in ^ ^ xsinxdx #.

Najít # J #, aplikujeme stejné pravidlo, ale nyní # u = sinx #, &, # v = e ^ x #, dostaneme,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Oddíl v # I #, my máme, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, tj., # 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, nebo

# I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) #.

Užijte si matematiku!

Odpovědět:

# e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Vysvětlení:

Nechat # I = e ^ xcosxdx a J = inte ^ xsinxdx #

Použití IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, s,

# u = cosx a, v = e ^ x #, dostaneme, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ xdx = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, tj., # I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Opět IBP, v roce 2006 # J # dostaneme, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, tím pádem, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Řešení #(1) & (2)# pro #I a J #, my máme, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, a J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Užijte si matematiku!