Odpovědět:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Vysvětlení:
Začněte pomocí pravidla součtu pro integrály a rozdělte je do dvou samostatných integrálů:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
První z těchto mini-integrálů je řešen integrací částí:
Nechat # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Nyní pomocí integrace podle vzorce části # intudv = uv-intvdu #, my máme:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Druhým z nich je případ pravidla reverzní moci, který uvádí:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Tak # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Proto, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (nezapomeňte přidat konstantu integrace!)
Dostali jsme počáteční podmínky #f (0) = 1 #, tak:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Tímto finálním nahrazením získáme konečné řešení:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
