Jak si vybrat dvě čísla, pro která je součet jejich odmocnin minimální, s vědomím, že produkt těchto dvou čísel je?

Odpovědět:

# x = y = sqrt (a) #

Vysvětlení:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "je minimální" #

# "Mohli bychom pracovat s násobitelem Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Odvození výnosů:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(po vynásobení x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Nyní musíme ještě zkontrolovat x = 0." #

# "Toto je nemožné jako x * y = 0."

# "Takže máme jedinečné řešení" #

# x = y = sqrt (a) #

Odpovědět:

Pokusím se vás přenést níže uvedenou metodou řešení.

Vysvětlení:

Co hledáme?

Dvě čísla. Dejte jim jména, #X# a # y #.

Znovu si přečtěte otázku.

Chceme, aby součet odmocnin byl minimální.

To nám říká dvě věci

(1) obě čísla jsou nezáporná (aby se zabránilo imaginářům)

(2) Máme zájem o hodnotu # sqrtx + sqrty #

Znovu si přečtěte otázku.

Také se říká, že produkt #X# a # y # je #A#.

Kdo si vybere #A#?

Obecně platí, že pokud cvičení něco říká #A# nebo # b # nebo #C#, vezmeme ty jako konstanty dané někým jiným.

Můžeme tedy říci "produkt #X# a # y # je #11#'

nebo "produkt. t #X# a # y # je #124#'.

Všechny tyto najednou vyřešíme slovy # xy = a # pro určitou konstantu #A#.

Chceme to udělat # sqrtx + sqrty # co nejmenší # xy = a # pro určitou konstantu #A#.

Vypadá to jako optimalizační problém a je to jeden. Chci tedy minimalizovat funkci jedné proměnné.

# sqrtx + sqrty # má dvě proměnné, #X# a # y #

# xy = a # má také dvě proměnné, #X# a # y # (pamatovat #A# je konstanta)

Tak #y = a / x #

Nyní chceme minimalizovat:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Najděte derivaci, pak kritické číslo (čísla) a otestujte kritická čísla. Dokončení je nalezení # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritický # sqrta #

#f '(x) <0 # pro #x <sqrta # a #f '(x)> 0 # pro #x> sqrta #, tak #f (sqrta) # je minimální.

#x = sqrta # a #y = a / x = sqrta #

Odpovědět:

# 2 kořen (4) (a) #

Vysvětlení:

To víme #x_i> 0 # my máme

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

pak

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # pak

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 kořen (4) (x_1x_2) #

ale # x_1x_2 = a # pak

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 kořen (4) (a) #