Prosím, pomozte to vyřešit, nemůžu přijít s řešením. Otázkou je najít f? Daný f: (0, + oo) -> RR s f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x v (0, + oo)

Odpovědět:

#f (x) = lnx + 1 #

Vysvětlení:

Nerovnost rozdělujeme do dvou částí:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Podívejme se na (1):

Uspořádáme se, abychom se dostali #f (x)> = lnx + 1 #

Podívejme se na (2):

Předpokládáme # y = x / e # a # x = ye #. Podmínku stále uspokojujeme #y in (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # tak #f (y) = f (x) #.

Z 2 výsledků, #f (x) = lnx + 1 #

Odpovědět:

Předpokládejme formulář a pak použijeme hranice.

Vysvětlení:

Na základě skutečnosti, že vidíme, že f (x) ohraničuje ln (x), můžeme předpokládat, že funkce je formou ln (x). Předpokládejme obecnou formu:

#f (x) = Aln (x) + b #

Zapojení podmínek, to znamená

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Můžeme odečíst #Aln (x) + b # z celé rovnice najít

# - A le (1-A) ln x - b le - 1 #

Překlopení,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Pokud chceme, aby to bylo pravdivé pro všechny x, vidíme, že horní hranice je konstanta a #ln (x) # je neomezený, tento termín musí být jasně 0. Proto A = 1, zanechávající nás

# 1 le b le 1 znamená b = 1 #

Takže máme jen řešení #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #