Jak to integrujete? X dx (x²-x + 1) Na této části jsem uvízl (nahraný obrázek)

Odpovědět:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Vysvětlení:

Pokračování …

Nechat # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Použití antiderivativní, co by mělo být věnováno paměti …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

To je složitý malý integrál a řešení se zpočátku nejeví zjevné. Protože se jedná o zlomek, mohli bychom se pokusit zvážit použití metody parciálních zlomků, ale rychlá analýza ukazuje, že to není možné, protože # x ^ 2-x + 1 # není faktorovatelný.

Budeme se snažit dostat tento integrál do formy, kterou můžeme skutečně integrovat. Všimněte si podobnosti mezi # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # a # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; víme, že druhý integrál vyhodnocuje # arctanx + C #. Budeme se proto snažit dostat # x ^ 2-x + 1 # ve formě #k (x-a) ^ 2 + 1 #a potom použijte # arctanx # pravidlo.

Budeme muset dokončit náměstí # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(velmi chaotický, já vím)

Teď, když ho máme v naší požadované podobě, můžeme postupovat následovně:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3)) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3)) / sqrt (3) + C #