Řešení pomocí riemann integrálu?

Odpovědět:

# {{^ ^}} {e ^ 2} # nebo cca 1.302054638 … #

Vysvětlení:

Nejdůležitější identitou číslo jedna pro řešení jakéhokoliv problému s nekonečným produktem je jeho převedení na problém nekonečných součtů:

{prod = {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

DŮRAZ:

# = exp součet {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Než to však můžeme udělat, musíme se nejprve zabývat # frac {1} {n ^ 2} v rovnici a btw pojmenujeme nekonečný produkt L:

# L = lim_ {n + +} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim {n + +} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim {n + +} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} = {{+}} {n}} = {{}} {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {{}} {n}} #

Můžeme to převést na nekonečný součet:

# L = n {{n} +}} __ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n} } = {{n} + inf} exp součet {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}}) #

použít vlastnosti logaritmu:

# L = lim_ {n + +} exp součet {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

A pomocí limitních vlastností:

# L = exp n_ {n + +}} __ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Zavolejme nekonečný součet S:

# S = {{n} + nd} {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

A mějte na paměti, že

# L = exp (S) #

Nyní si vyřešme vaši otázku tím, že ji převedeme z RIEMANN SUM až a DEFINITE INTEGRAL:

Připomeňme si definici Riemannova součtu:

DŮRAZ:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = {{+}} +_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (ba {{}} {n} f })) * frac {ba} {n} #

Nechat

# lim_ {n + +}} {{k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = {n + +} f_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Teď, ať # f (x) = ln (1 + x ^ 2) a = 0 #

# f (k (f {{}} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

B = 1 tj.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Proto,

# S = {{n} + nd} {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Vyřešit pro # {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

používat integraci podle částí:

# uv uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Nechat # u = ln (1 + x ^ 2) a v = 1 #

Pak použijte řetězové pravidlo a derivaci přirozeného logaritmu # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

a použít pravidlo napájení pro získání: # 1dx = x #

# ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Použít pravidlo odčítání:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx # #

Použijte pravidlo napájení pro první integrál a druhý integrál je standardní trigonometrická funkce # arctan (x) # (inverzní funkce tangenty)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Tím pádem, # ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nyní vyřešte určitý integrál:

# S = int {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

víme, že anti-derivát je # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Tím pádem

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Všimněte si, že arctan (1) je 45 ° nebo #rac {{}} {4} # (vzpomeňte si na speciální pravoúhlý trojúhelník s délkami stran 1,1, # {{}} # a úhlů 45 °, 45 °, 90 °) a také # arctan (0) = 0 #

Tím pádem #S = ln (2) - 2 + 2 (frac {pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac {{}} {2} #

nebo # 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac {pi} {2} = e ^ {ln (2)} e ^ {- 2} * e ^ {frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2} {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Řešení je proto {lim_ {n + +}} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n }} = frac {e ^ pi}} {e ^ 2} # nebo cca 1.302054638 … #