Jaká je maximální plocha obdélníku s obvodem 116 m?

Odpovědět:

Oblast, #A = 841 "m" ^ 2 #

Vysvětlení:

Nechť L = délka

Nechť W = šířka

Obvod, #P = 2L + 2W #

Vzhledem k: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

Řešit pro W z hlediska L:

#W = 58 "m" - L "1" #

Oblast, #A = LW "2" #

Nahraďte pravou stranu rovnice 1 pro W do rovnice 2:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

Chcete-li získat hodnotu L, která maximalizuje oblast, spočítejte její první derivaci vzhledem k L, nastavte ji na hodnotu 0 a vyřešte hodnotu L:

První derivace:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

Nastavte ji na hodnotu 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

Použijte rovnici 1 k nalezení hodnoty W:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

#W = 29 "m" #

To ukazuje, že obdélník, který vytváří maximální plochu, je čtverec. Oblast je:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Odpovědět:

# 841m ^ 2 #.

Vysvětlení:

Tento problém vyřešíme pomocí Algebraické metody. Jako

Druhé řešení, vyřešíme to pomocí Počet

Nechat #l a w # délka a šířka obdélníku, resp.

Potom oblast obdélníku# = lw.

Potom, podle toho, co je dáno, # 2 (l + w) = 116, nebo, (l + w) / 2 = 29 #.

Zde používáme následující AGH Nerovnost reálných nos.:

Li A, G a H jsou Aritmetické, geometrické a harmonické prostředky

z # a, bv RR ^ + uu {0} "resp.," A> = G> = H. #

# "Zde," A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b).

Proto, # (l + w) / 2> = sqrt (lw), nebo, ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

Tohle znamená tamto, # "Area =" lb <= (29) ^ 2 #

Proto, maximum obdélníku# = 841m ^ 2 #.