Jak zjednodušíte (sec ^ 4x-1) / (sec ^ 4x + sec ^ 2x)?

Odpovědět:

Použijte Pythagorean Identity a pár factoringové techniky, abyste tento výraz zjednodušili # sin ^ 2x #.

Vysvětlení:

Připomeňme si důležitou Pythagorovu identitu # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #. Budeme ho potřebovat pro tento problém.

Začněme s čitatelem:

# sec ^ 4x-1 #

Toto lze přepsat jako:

# (sec ^ 2x) ^ 2- (1) ^ 2 #

To odpovídá tvaru rozdílu čtverců, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #, s # a = sec ^ 2x # a # b = 1 #. Faktory ovlivňují:

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

Z identity # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #, můžeme vidět, že odečítání #1# z obou stran nám dává # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Můžeme tedy nahradit # sec ^ 2x-1 # s # tan ^ 2x #:

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

# -> (tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1) #

Podívejme se na jmenovatele:

# sec ^ 4x + sec ^ 2x #

Můžeme vyčíslit a # sec ^ 2x #:

# sec ^ 4x + sec ^ 2x #

# -> sec ^ 2x (sec ^ 2x + 1) #

Nemůžeme zde dělat víc, takže se podívejme na to, co máme teď:

# ((tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) / ((sec ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) #

Můžeme udělat nějaké zrušení:

# ((tan ^ 2x) zrušit ((sec ^ 2x + 1))) / ((sec ^ 2x) zrušit ((sec ^ 2x + 1)) #

# -> tan ^ 2x / sec ^ 2x #

Nyní to přepíšeme pouze pomocí sinus a cosines a zjednodušíme:

# tan ^ 2x / sec ^ 2x #

# -> (sin ^ 2x / cos ^ 2x) / (1 / cos ^ 2x) #

# -> sin ^ 2x / cos ^ 2x * cos ^ 2x #

# -> sin ^ 2x / zrušit (cos ^ 2x) * zrušit (cos ^ 2x) = sin ^ 2x #