Ukážte, že pokud polynomial f (x) = ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d je rozdělen přesně g (x) = ax ^ 2 + 2bx + c, pak f (x) je dokonalá krychle, zatímco g (x) je dokonalé náměstí?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Dáno #f (x) # a #g (x) # tak jako

#f (x) = ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d #

#g (x) = ax ^ 2 + 2bx + c #

a tak #g (x) # dělí #f (x) # pak

#f (x) = (x + e) g (x) #

Nyní seskupení coeficients

# {(d-c e = 0), (c-b e = 0), (b-a e = 0):} #

řešení # a, b, c # získáme podmínku

# {(a = d / e ^ 3), (b = d / e ^ 2), (c = d / e):} #

a nahrazení #f (x) # a #g (x) #

#f (x) = (d (x + e) ^ 3) / e ^ 3 = (kořen (3) (d) (x + e) / e) ^ 3 #

#g (x) = (d (x + e) ^ 2) / e ^ 3 = (sqrt (d / e) (x + e) / e) ^ 2 #