Jaké jsou lokální extrémy f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13?

Odpovědět:

Místní maximum je # 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 #

Místní minimum je # 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #

Vysvětlení:

Pro nalezení lokálních extrémů můžeme použít první derivační test. Víme, že při lokálním extrému se přinejmenším první derivace funkce rovná nule. Vezměme tedy první derivaci a nastavíme ji na hodnotu 0 a vyřešíme x.

#f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 #

#f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

# 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

Tuto rovnost lze snadno vyřešit pomocí kvadratického vzorce. V našem případě, #a = -3 #, #b = 6 # a # c = 10 #

Kvadratický vzorec uvádí:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Pokud zapíšeme naše hodnoty do kvadratického vzorce, dostaneme

#x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt (156) / 6 = 1 + - sqrt (13/3) #

Nyní, když máme hodnoty x, kde jsou lokální extrémy, připojme je zpět do naší původní rovnice, abychom získali:

#f (1 + sqrt (13/3)) = 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 # a

#f (1 - sqrt (13/3)) = 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #