Jaké jsou lokální maxima a minima f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Odpovědět:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Tato funkce má vertikální asymptotu na # x = 2 #, přístupy #1# shora směrem x # + oo # (horizontální asymptota) a přístupy #1# zdola, jak jde x # -oo #. Všechny deriváty nejsou definovány v # x = 2 # také. Tam je jeden místní minima u # x = 0 #, # y = 0 # (Všechny ty potíže pro původ!)

Všimněte si, že budete chtít zkontrolovat svou matematiku, i to nejlepší z nás upustí podivné negativní znamení a to je dlouhá otázka.

Vysvětlení:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Tato funkce má vertikální asymptotu na # x = 2 #, protože jmenovatel je nula, když # x = 2 #.

Blíží se #1# shora směrem x # + oo # (horizontální asymptota) a přístupy #1# zdola, jak jde x # -oo #, protože pro velké hodnoty # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # s # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # pro #x> 0 # a # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # pro #x <0 #.

Pro nalezení max / min potřebujeme první a druhé deriváty.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Použijte pravidlo kvocientu!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Pomocí pravidla pro pravomoci a pravidla řetězce získáme:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Teď jsme trochu upracovaní …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Nyní druhý derivát, jako první.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Je to ošklivé, ale potřebujeme jen připojit a všimnout si, kde se to špatně chovalo.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Tato funkce není definována na # x = 2 #, že asymptote, ale vypadá dobře všude jinde.

Chceme vědět, že max / min jsou …

jsme si stanovili # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # toto je nula když čitatel je nula a jestliže jmenovatel není.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # nebo # 4x (2-x) = 0 # To je nulové # x = 0 # a # x = 2 #, ale nemůžeme mít max / min derivace / funkce jsou nedefinované, takže jedinou možností je # x = 0 #.

"druhý derivační test"

Nyní se podíváme na druhou derivaci, ošklivou, jak to je …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Stejně jako funkce a první derivace je to nedefinováno # x = 2 #, ale vypadá všude jinde.

Zapojíme # x = 0 # do # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, není nulové takové krásné číslo, aby ho zapojilo?

#=128/256# to všechno #1/2#

#1/2 >0# tak # x = 0 # je místní minima.

Abychom našli hodnotu y, musíme ji zapojit do funkce.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Původ!