Jak zjistíte vrchol kvadratické rovnice?

Odpovědět:

Použijte vzorec # -b / (2a) # pro souřadnici x a pak ji zapojte, abyste našli y.

Vysvětlení:

Kvadratická rovnice je psána jako # ax ^ 2 + bx + c # ve své standardní podobě. Vrchol lze nalézt pomocí vzorce # -b / (2a) #.

Předpokládejme například, že naším problémem je zjistit vrchol (x, y) kvadratické rovnice # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) Vyhodnoťte hodnoty a, b a c. V tomto příkladu a = 1, b = 2 a c = -3

2) Zapojte své hodnoty do vzorce # -b / (2a) #. V tomto příkladu se dostanete #-2/(2*1)# které lze zjednodušit na -1.

3) Právě jste našli souřadnici x vašeho vrcholu! Nyní zastrčte -1 pro x v rovnici, abyste zjistili souřadnici y.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Po zjednodušení výše uvedené rovnice dostanete: 1-2-3, která se rovná -4.

6) Vaše poslední odpověď je (-1, -4)!

Doufám, že to pomohlo.

Odpovědět:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # má vrchol na # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Vysvětlení:

Zvažte obecný kvadratický výraz:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

a související rovnice #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

S kořeny, # alpha # a #beta#.

Víme (podle symetrie - viz níže pro důkaz), že vrchol (buď maximum nebo minimum) je středem dvou kořenů, #X#-koordinát vrcholu je:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Připomeňte si však dobře studované vlastnosti:

# {: ("součet kořenů", = alfa + beta, = -b / a), ("produkt kořenů", = alfa beta, = c / a):} #

Tím pádem:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Dává nám:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Tím pádem:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # má vrchol na # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Důkaz středního bodu:

Jestli máme

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Pak se rozlišuje wrt #X#:

# f '(x) = 2ax + b #

V kritickém bodě, první derivace, #f '(x) # zmizí, což vyžaduje, aby:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) t QED