Prokázat, že křivky x = y ^ 2 a xy = k řez v pravém úhlu, pokud 8k ^ 2 = 1?

Odpovědět:

#-1#

Vysvětlení:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

obě křivky jsou

#x = y ^ 2 #

a

#x = sqrt (1/8) / y nebo x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

pro křivku #x = y ^ 2 #derivát s ohledem na # y # je # 2y #.

pro křivku #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #derivát s ohledem na # y # je # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

bod, ve kterém se obě křivky setkají, je kdy # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

od té doby #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

bod, ve kterém se křivky setkávají, je # (1/2, sqrt (1/2)) #

když #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

gradient tečny k křivce #x = y ^ 2 # je # 2sqrt (1/2) nebo 2 / (sqrt2) #.

když #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

gradient tečny k křivce #xy = sqrt (1/8) # je # -2sqrt (1/8) nebo -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Hledáme podmínku # k # takové křivky # x = y ^ 2 # a # xy = k # "řez v pravém úhlu". Matematicky to znamená, že křivky by měly být ortogonální, což znamená, že ve všech bodech tečny k křivkám na žádný daný bod je kolmý.

Zkoumáme-li rodinu křivek pro různé hodnoty # k # dostaneme:

Ihned si všimneme, že hledáme jediný bod, kde tečna je kolmá, takže křivky obecně nejsou ve všech bodech ortogonální.

Nejdříve se podívejme singl koordinovat, # P #, průsečíku, což je současné řešení:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Substituce Eq A do B dostaneme:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = kořen (3) (k) #

A tak vytvoříme křižovatku souřadnic:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Potřebujeme také gradienty tečných teček na této souřadnici. Pro první křivku:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Takže gradient tečny, # m_1 #na první křivku na # P # je:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Podobně pro druhou křivku:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Takže gradient tečny, # m_2 #na druhou křivku na # P # je:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Pokud jsou tyto dvě tečny kolmé, pak požadujeme, aby:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Vedení k danému výsledku:

# 8k ^ 2 = 1 t QED

A s touto hodnotou # k #