Odpovědět:
Viz níže uvedené vysvětlení
Vysvětlení:
Funkce je
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Částečné deriváty jsou
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Nechat # (delf) / (delx) = 0 # a # (delf) / (dely) = 0 #
Pak, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Hesenská matice je
#Hf (x, y) = ((((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Rozhodujícím faktorem je
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) |
#=4-1=3 >0#
Proto, Neexistují žádné sedlové body.
#D (1,1)> 0 # a # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, existuje místní minimum na adrese #(-3,3)#
Odpovědět:
Místní minimum: #(-3,3)#
Vysvětlení:
Skupina bodů, která zahrnuje jak body extrémy, tak sedla, se zjistí, když oba # (delf) / (delx) (x, y) # a # (delf) / (dely) (x, y) # jsou rovny nule.
Za předpokladu #X# a # y # jsou nezávislé proměnné:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Máme tedy dvě simultánní rovnice, které jsou šťastně lineární:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Od prvního:
# y = -2x-3 #
Nahraďte druhého:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Nahraďte první:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Existuje tedy jeden bod, kde se první deriváty rovnoměrně stávají nulami, buď extrémem nebo sedlem # (x, y) = (- 3,3) #.
Abychom mohli odvodit, že musíme vypočítat matici druhých derivátů, Hessovskou matici (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Tím pádem
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Všechny deriváty druhého řádu jsou rovnoměrně konstantní bez ohledu na hodnoty #X# a # y #, takže nemusíme specificky počítat hodnoty pro bod zájmu.
Pozn. Pořadí diferenciace není důležité pro funkce se spojitými druhými deriváty (Clairaultova věta, aplikace zde: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), a proto očekáváme, že # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, jak vidíme v našem konkrétním výsledku výše.
V tomto dvou proměnném případě můžeme odvodit typ bodu z determinantu Hessian, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Zde je uvedena forma testu, který se má provést:
Vidíme, že determinantem je #>0#, a tak je # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Takže to dokážeme #(-3,3)#, jediný bod nulové první derivace, je lokální minimum funkce.
Jako kontrola zdravého rozumu pro otázku jednorozměrné funkce obvykle uvádím její graf, ale Socratic nemá zařízení pro plošné nebo konturové vykreslování vhodné pro dvourozměrné funkce, jak je vidět. Takže tyto dvě funkce přežiju #f (-3, y) # a #f (x, 3) #, které ne charakterizují celou doménu funkcí pro nás, ale ukáže nám minimum mezi nimi, které se jeví jako očekávané # y = 3 # a # x = -3 #, s identickou hodnotou funkce # f = -5 # v každém případě.
Tak jako #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graf {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
