Odlište od prvního principu x ^ 2sin (x)?

Odpovědět:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # z definice derivátu a s určitými limity.

Vysvětlení:

Nechat #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Pak

# (df) / dx = lim_ {h 0 0 (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h 0 0 ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h 0 0 ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h 0 0 (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h 0 0 (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

goniometrickou identitou a některými zjednodušeními. Na těchto čtyřech posledních řádcích máme čtyři termíny.

První termín se rovná 0, protože

#lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h - 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, které lze vidět např. z Taylorovy expanze nebo L'Hospitalova pravidla.

Čtvrtý termín také zmizí, protože

#lim_ {h - 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h 0 0 h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Teď druhé období zjednodušuje

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h - 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, od té doby

#lim_ {h - 0} (sin (h)) / h = 1 #, jak je zde ukázáno, nebo např. Pravidlo L'Hospital (viz níže).

třetí termín zjednodušuje

# lim_ {h 0 0 (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

který po k druhému termínu dává to

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Poznámka: Od L'Hospital je pravidlo, protože # r_ {h 0} sin (h) = 0 # a # r_ {h 0} h = 0 # a obě funkce jsou rozdílné # h = 0 #, máme to

# r_ {h - 0} sin (h) / h = r {{h} 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = {{ h 0} cos (h) = 1 #.

Omezení # lim_ {h 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # lze zobrazit podobně.