Kruh má střed, který padá na čáru y = 7 / 2x +3 a prochází (1, 2) a (8, 1). Jaká je rovnice kruhu?

Odpovědět:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Vysvětlení:

Bod A #(1,2)# a bod B #(8,1)# musí být stejná vzdálenost (jeden poloměr) od středu kruhu

To leží na linii bodů (L), které jsou všechny vzdálené od A a B

vzorec pro výpočet vzdálenosti (d) mezi dvěma body (z pythagorus) je # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

nahradit v tom, co známe pro bod A a libovolný bod na L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

nahradit v tom, co známe pro bod B a libovolný bod na L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Proto

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Rozbalte závorky

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Zjednodušit

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

středový bod leží na lince #y = 7x - 30 # (sada bodů vzdálená od A a B)

a na lince #y = 7x / 2 + 3 # (zadáno)

řešit, kde tyto dva řádky kříží najít střed kruhu

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

nahradit #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Střed kruhu je na #(66/7, 36)#

čtvercový poloměr kruhu lze nyní vypočítat jako

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Obecný vzorec pro kruh nebo poloměr # r # je

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # se středem na h, k

Teď víme # h #, # k # a # r ^ 2 # a může je nahradit obecnou rovnicí pro kruh

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

rozbalte závorky

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

a zjednodušit

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #