Jak vyřešit separovatelnou diferenciální rovnici a najít konkrétní řešení splňující počáteční podmínku y ( 4) = 3?

Odpovědět:

Obecné řešení: #color (červená) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Konkrétní řešení: #color (modrá) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Vysvětlení:

Z dané diferenciální rovnice #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

vezměte na vědomí, že #y '(x) = dy / dx # a #y (x) = y #, proto

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

rozdělit obě strany podle #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Vynásobte obě strany podle # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

přemístit # dx # na levé straně

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

na obou stranách máme následující výsledky

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (červená) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Obecné řešení

Ale #y (-4) = 3 # znamená, kdy # x = -4 #, # y = 3 #

Nyní můžeme vyřešit # C_1 # řešit konkrétní řešení

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Proto je našim konkrétním řešením

#color (modrá) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Bůh žehnej …. Doufám, že vysvětlení je užitečné.

Odpovědět:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, s #y> = - 13/4 #.

Vysvětlení:

#y> = - 13/4 #, dělat #sqrt (4y + 13) # nemovitý..

Přeskupení, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Tak, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Použitím #y = 3, když x = -4, C = -`13 / 2 #

Tak. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Naopak. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #