Pomůžeš mi? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Odpovědět:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Vysvětlení:

to vyžaduje následující části. Limity budou vynechány až do konce

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (červená) (I = intu (dv) / (dx) dx) = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (červená) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

druhý integrál je také dělán díly

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#color (červená) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (červená) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (červená) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

nyní dejte limity do

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (e ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Odpovědět:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Vysvětlení:

Zatímco odpověď, která již byla poskytnuta, je perfektní, chtěl jsem poukázat na jednodušší způsob, jak dospět ke stejné odpovědi s použitím mírně pokročilejšího přístupu - a to prostřednictvím složitých čísel.

Začneme slavným vztahem

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

kde # i = sqrt {-1} #a všimněte si, že to znamená

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) znamená e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

kde # Im # označuje imaginární část.

Tak

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ i}) #

# = Im ({ie ^ pi -1} / {2 + i} časy {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + tj ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) krát (-1) + e ^ pi krát 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #