Co je větší: 1000 ^ (1000) nebo 1001 ^ (999)?

Odpovědět:

#1000^1000 > 1001^999#

Vysvětlení:

S ohledem na rovnici

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ x #

-li #x> 999 #

pak

#1000^1000 > 1001^999#

jiný

#1000^1000 < 1001^999#

Aplikace log transformace na obě strany.

# 1000 log 1000 = x log 1001 #

ale

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 / (n!) (d / (dx) log x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

Tato série je alternativní a rychle konvergentní

# log1001 cca log1000 + 1/1000 #

Nahrazení v

#x = 1000 log1000 / (log1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

ale #3000/3001 = 0.999667# tak

#x = 999,667> 999 # pak

#1000^1000 > 1001^999#

Odpovědět:

Zde je alternativní řešení využívající binomický teorém k prokázání:

#1001^999 < 1000^1000#

Vysvětlení:

Binomickým teorémem:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# <1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … = e ~~ 2.718 #

Tak:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color (bílá) (1001 ^ 999) = (1 + 1/1000) ^ 999 * 1000 ^ 999 #

#color (bílá) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

Odpovědět:

#1000^1000 > 1001^999#

Vysvětlení:

# Použít log 1000 = log 10 ^ 3 = 3 a log 1001 = 3.0004340 …

Zde jsou logaritmy obou

#log (1000 ^ 1000) = 1000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # a

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997,4 #…

Protože log je rostoucí funkcí, #1000^1000 > 1001^999#.