Jak jsem to dokázal? Bylo by to pomocí věty z reálné analýzy?

# "Použít definici derivace:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Zde máme" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Musíme dokázat, že" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"nebo"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"nebo"#

#h '(x_0) = 0 #

# "s" h (x) = f (x) - g (x) #

#"nebo"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"nebo"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(kvůli" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Nyní"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "pokud" h> 0 "a" lim> = 0 "pokud" h <0 #

# "Udělali jsme předpoklad, že f a g jsou diferencovatelné" #

# "tak" h (x) = f (x) - g (x) "je také diferencovatelný," #

# "takže levý limit musí být roven správnému limitu, takže" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Odpovědět:

Poskytnu rychlejší řešení, než je řešení uvedené v http://socratic.org/s/aQZyW77G. Na to budeme muset spoléhat na některé známé výsledky z počtu.

Vysvětlení:

Definovat #h (x) = f (x) -g (x) #

Od té doby #f (x) lg (x) #, my máme #h (x) le 0 #

V # x = x_0 #, my máme #f (x_0) = g (x_0) #, aby #h (x_0) = 0 #

Tím pádem # x = x_0 # je maximum diferencovatelné funkce #h (x) # uvnitř otevřeného intervalu # (a, b) #. Tím pádem

#h ^ '(x_0) = 0 znamená #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) znamená #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #