Síla působící na objekt pohybující se vodorovně na lineární dráze je popsána pomocí F (x) = x ^ 2-3x + 3. Jak moc se mění kinetická energie objektu, když se objekt pohybuje od x v [0, 1]?

Odpovědět:

Newtonův druhý zákon pohybu:

# F = m * a #

Definice zrychlení a rychlosti:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Kinetická energie:

# K = m * u ^ 2/2 #

Odpověď je:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Newtonův druhý zákon pohybu:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Nahrazení # a = (du) / dt # nepomáhá s rovnicí, protože #F# není dána jako funkce # t # ale jako funkce #X# Nicméně:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Ale # (dx) / dt = u # tak:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Substitut do rovnice, kterou máme, máme diferenciální rovnici:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Tyto dvě rychlosti jsou neznámé, ale pozice #X# jsou známy. Rovněž hmotnost je konstantní:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Ale # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Poznámka: jednotky jsou # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # pouze pokud jsou dané vzdálenosti # (xv 0,1) # jsou v metrech.