Odpovědět:
A)# x = 2 #
b) viz níže
Vysvětlení:
a) Jelikož první tři termíny jsou #sqrt x-1 #, 1 a #sqrt x + 1 #, střední termín, 1, musí být geometrickým průměrem ostatních dvou. Proto
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) znamená #
# 1 = x-1 znamená x = 2 #
b)
Společný poměr je pak #sqrt 2 + 1 #a první termín je #sqrt 2-1 #.
Pátý termín je tedy
# (sqrt 2-1) časy (sqrt 2 + 1) ^ 4 = (sqrt 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
#qquad = 7 + 5sqrt2 #
Odpovědět:
Viz níže.
Vysvětlení:
Vzhledem k tomu
# rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # jsou v # GP #.
Tak, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #
#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# rarrx = 2 #
První termín # (a) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
Druhý termín # (b) = 1 #
Společný poměr # (r) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
# n ^ (th) # termín geometrické posloupnosti # (t_n) = a * r ^ (n-1) #
Tak, # t_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Odpovědět:
# x = 2 a 5 ^ (th) "termín" = 7 + 5sqrt2 #.
Vysvětlení:
Pro žádný #3# za sebou # a, b, c # of a GP, my máme, # b ^ 2 = ac #.
V našem případě tedy # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
1, tj. 1 = x-1, nebo x = 2 #.
S # x = 2 #, # 1 ^ (st) a 2 ^ (nd) # podmínky GP pod
odkaz je, # sqrtx-1 = sqrt2-1 a 1 #, resp.
Takže společný poměr # r = (2 ^ (nd) "termín)" -:(1 ^ (st) "termín)" #, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "term = r (" 3 ^ (rd) "termín) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1) #, # = (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Dále, # (5 ^ (th) "termín) = r (" 4 ^ (th) termín) #, # = (sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) "termín" = 7 + 5sqrt2 #.
