Co je druhá odmocnina 89?

Odpovědět:

Druhá odmocnina #89# je číslo, které při kvadrát dává #89#.

#sqrt (89) ~ ~ 9.434 #

Vysvětlení:

Od té doby #89# je prvočíslo, #sqrt (89) # nelze zjednodušit.

Můžete ji přiblížit metodou Newton Raphson.

Rád bych ho trochu přeformuloval takto:

Nechat #n = 89 # být číslo, které chcete odmocninu.

Vybrat # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # aby # p_0 / q_0 # je rozumná racionální aproximace. Od té doby jsem si vybral tyto konkrétní hodnoty #89# je asi uprostřed #9^2 = 81# a #10^2 = 100#.

Iterace pomocí vzorců:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

To poskytne lepší racionální aproximaci.

Tak:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Kdybychom se tady zastavili, dostali bychom aproximaci:

#sqrt (89) ~ ~ 717/76 ~~ 9.434 #

Pojďme ještě jeden krok:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Tak dostaneme aproximaci:

#sqrt (89) ~ ~ 1028153/108984 ~ ~ 9.43398113 #

Tato metoda Newton Raphson konverguje rychle.

#barva bílá)()#

Vlastně, poměrně dobrá jednoduchá aproximace pro #sqrt (89) # je #500/53#, od té doby #500^2 = 250000# a #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~ ~ 500/53 ~ ~ 9.43396 #

Pokud k tomu použijeme jeden iterační krok, dostaneme lepší aproximaci:

#sqrt (89) ~ ~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#barva bílá)()#

Poznámka pod čarou

Všechny čtvercové kořeny kladných celých čísel mají opakující se expanze zlomků, které můžete také použít k vyjádření racionálních přiblížení.

V případě #sqrt (89) # pokračující expanze zlomku je trochu chaotická, takže není tak příjemné pracovat s:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

Aproximace #500/53# výše #9; 2, 3, 3, 2#