Jaká je oblast ohraničená 2x + 3y <= 6?

Odpovědět:

#A = 12 #

Vysvětlení:

Absolutní hodnota je dána hodnotou

# | a | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

Jako takové budou zde zvažovány čtyři případy. Oblast obklopená # 2 | x | +3 | y | <= 6 # bude oblast obklopená čtyřmi různými případy. Jedná se o:

#diamond x> 0 a y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

Část oblasti, kterou hledáme, bude oblast definovaná grafem

#y = 2-2 / 3x #

a osy:

Protože se jedná o pravý trojúhelník s vrcholy #(0,2)#, #(3,0)# a #(0,0)#, jeho nohy budou mít délku #2# a #3# a její plocha bude:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Druhý případ bude

#diamond x <0 a y> 0 #

# 2 | x | +3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Potřebná plocha bude opět definována grafem # y = 2 + 2 / 3x # a osy:

Tenhle má vrcholy #(0,2)#, #(-3,0)# a #(0,0)#, opět s délkami nohou #2# a #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Je zde jasně nějaká symetrie. Analogicky povede řešení pro čtyři oblasti stejný výsledek; všechny trojúhelníky mají plochu #3#. Oblast jako taková je uzavřena

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

je

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Jak je vidět výše, tvar popsaný # 2 | x | +3 | y | <= 6 # je kosočtverec.