Odpovědět:
Konverguje # 1 + i # (na grafickém kalkulátoru Ti-83)
Vysvětlení:
Nechat # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}
Za prvé, za předpokladu, že tato nekonečná řada konverguje (tj. Za předpokladu, že existuje S a má hodnotu komplexního čísla), # S ^ 2 = -2 + 2 sq {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} # #
# S ^ 2 + 2 = 2 sq {{2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} # #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}} # #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
A pokud vyřešíte S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
a použití kvadratického vzorce:
{S = frac {2 pm amrt {4-8}} {2} = frac {2 pm {{}} {2} = frac {2}} {2} = 1 hod. I #
Obvykle má druhá odmocnina kladnou hodnotu # S = 1 + i #
Pokud tedy konverguje, musí se sblížit # 1 + i #
Nyní vše, co musíte udělat, je dokázat, že konverguje, nebo pokud jste líní jako já, můžete se zapojit # {{}} # do kalkulátoru, který dokáže zpracovat imaginární čísla a použít relaci opakování:
# f (1) = sq {-2} #
# f (n + 1) = sq {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Opakoval jsem to mnohokrát na svém Ti - 83 a zjistil jsem, že se to přiblíží například poté, co jsem to zopakoval někde jako 20krát
# 1.000694478 + 1.001394137i #
docela dobrá aproximace
