Jak zjednodušíte root3 (1)?

Odpovědět:

#1# nebo #1^(1/3)# =#1#

Vysvětlení:

Kořenový kořen 1 je stejný jako zvýšení 1 na mocninu #1/3#. 1 k moci cokoliv je ještě 1.

Odpovědět:

Pracujeme v realech, které dostáváme #root 3 {1} = 1 #.

Každé nenulové komplexní číslo má tři kořeny kostek, takže tam

#root 3 {1} = 1 nebo -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Vysvětlení:

Pokud pracujeme v reálných číslech, tak si to všimneme #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Předpokládám, že se jedná o komplexní čísla.

Jedna z podivných věcí, které zjistíme, když se ponoříme do složitých čísel, je ta funkce #f (z) = e ^ {z} # je periodický. Exponenciální růst je opak opaku, takže je to překvapení.

Klíčovou skutečností je Eulerova identita. Říkám to Eulerova pravá identita.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Eulerova pravá identita ukazuje # e ^ z # je periodický s periodou # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Můžeme zvýšit Eulerovu pravou identitu na jakoukoliv celočíselnou moc # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Co to má společného s kořenem kostky? Je to klíč. Říká, že existuje nespočet nekonečně mnoho způsobů psaní. Některé z nich mají jiné kořeny než jiné. To je důvod, proč non-integer exponenty dávají vzniknout více hodnotám.

To je vše, co je velké. Obvykle je začínám psát:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # pro celé číslo # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Posledním krokem je samozřejmě Eulerův vzorec # e ^ {i theta} = cos theta + i theta theta.

Protože máme # 2pi # periodicita trig funkcí (která vyplývá z periodicity exponenciální a Eulerovy rovnice) máme pouze unikátní hodnoty pro tři po sobě následující # k #s. Pojďme to zhodnotit # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Dostáváme tedy tři hodnoty pro kořen kostky jedné:

#root 3 {1} = 1 nebo -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #