Jak řešit inte ^ xcosxdx?

Odpovědět:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Vysvětlení:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Budeme používat integraci podle částí, která to říká #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Použijte integraci podle částí, s # u = e ^ x #, # du = e ^ x t, # "d" v = cos (x) t, a # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Použijte opět integraci částí do druhého integrálu, s # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x t, # "d" v = sin (x) t, a # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) d) x #

Teď si vzpomínáme, že jsme definovali # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Výše uvedená rovnice se tedy stává následující (zapamatování přidání konstanty integrace):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Použití de Moivreovy identity

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # my máme

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

ale #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

a nakonec

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #