Jaká je vzdálenost (0, 0, 8) a (9, 2, 0)?

Odpovědět:

Vzdálenost je #sqrt (149) #

Vysvětlení:

Vzdálenost mezi dvěma body

# (x_1, y_1, z_1) #

a

# (x_2, y_2, z_2) #

v # RR ^ 3 # (tři rozměry)

# "vzdálenost" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Aplikujeme-li to na problém, dostaneme vzdálenost mezi #(0, 0, 8)# a #(9, 2, 0)# tak jako

# "vzdálenost" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2 = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Následuje vysvětlení, odkud pochází vzorec vzdálenosti a není nutné pro pochopení výše uvedeného řešení.

Výše uvedený vzorec vzdálenosti vypadá podezřele podobně jako vzorec vzdálenosti v # RR ^ 2 # (dva rozměry):

# "vzdálenost" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

který pochází z jednoduché aplikace Pythagorean teorému, tím, že kreslí pravý trojúhelník mezi dvěma body s nohami rovnoběžnými s #X# a # y # sekery.

Ukazuje se, že # RR ^ 3 # verzi lze odvodit podobným způsobem. Použijeme-li (maximálně) 3 řádky pro spojení dvou bodů, paralelně k #X#, # y #, a # z # osy, dostaneme krabici s body jako protilehlé rohy. Tak pojďme zjistit, jak vypočítat vzdálenost přes úhlopříčku krabice.

Snažíme se zjistit délku červené čáry #color (red) (AD) #

Protože toto je přepona trojúhelníku # ABD #, od Pythagorean věty: t

# (barva (červená) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (barva (modrá) (BC)) ^ 2 #

# => barva (červená) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (barva (modrá) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Bohužel nemáme délku #color (blue) (BD) # jako daný. Abychom to dostali, musíme znovu použít Pythagorův teorém, tentokrát na trojúhelník # BCD #.

# (barva (modrá) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Jak potřebujeme jen náměstí #color (blue) (BD) #, teď můžeme nahradit # ("ii") # do # ("i") #:

#color (červená) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Konečně, pokud máme #A# v # (x_1, y_1, z_1) # a # D # v # (x_2, y_2, z_2) #, pak máme délky

#CD = | x_2 - x_1 |

#BC = | y_2 - y_1 |

#AB = | z_2 - z_1 | #

Substituce do výše uvedeného nám dává požadovaný výsledek.

Jako dodatečnou poznámku, zatímco geometrické důkazy můžeme provádět pouze ve 3 rozměrech, matematici mají zobecněnou vzdálenost # RR ^ n # (# n # rozměry). Vzdálenost mezi

# (x_1, x_2, …, x_n) # a # (y_1, y_2, …, y_n) # je definován jako

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

který odpovídá vzoru # RR ^ 2 # a # RR ^ 3 #.