Máme hasf: {1,2,3} -> {1,2} a g: {1,2,3} -> {1,2,3,4} .Jak existuje mnoho injekčních f a g funtions?

Odpovědět:

#F# nemůže být injekční.

#G# může být injektivní #24# způsoby.

Vysvětlení:

Funkce je injektivní, pokud žádný ze dvou vstupů neposkytuje stejný výstup. Jinými slovy, něco jako

#f (x) = f (y), čtyř x x y #

nemůže se stát.

To znamená, že v případě konečné domény a codomain může být funkce injektivní pouze tehdy, je-li doména menší než codomain (nebo, nanejvýš rovna), pokud jde o mohutnost.

To je důvod, proč #F# nikdy nemůže být injekční. Ve skutečnosti můžete opravit #f (1) # jak chceš. Říci #f (1) = 1 #, například. Při výběru #f (2) #Nemůžeme to znovu říct #f (2) = 1 #, nebo #F# by nebylo injekční. Ale když to přijde #f (3) # nemáme na výběr, pokud řekneme #f (3) = 1 # my máme #f (1) = f (3) #a pokud řekneme #f (3) = 2 # my máme #f (2) = f (3) #.

Jinými slovy musíme každému ze tří vstupů přiřadit jeden ze dvou možných výstupů. Mělo by být zřejmé, že vstupy nemohou poskytovat různé výstupy.

Na druhou stranu #G# může být injektivní, protože existuje "dostatek místa": každý ze tří vstupů si může vybrat jeden ze čtyř výstupů tak, aby žádný jiný vstup neposkytoval stejný výstup.

Ale kolik způsobů? Předpokládejme, že začneme znovu #f (1) #. Můžeme si vybrat kterýkoliv ze čtyř výstupů pro tento vstup, takže si můžeme vybrat #f (1) # čtyřmi způsoby.

Pokud jde o #f (2) #, ztrácíme určitou svobodu: můžeme přidělit libovolnou hodnotu #f (2) #, s výjimkou toho, kterému jsme přidělili #f (1) #, takže máme dvě možnosti. Například, pokud jsme opravili #f (1) = 2 #, pak #f (2) # může být #1#, #3# nebo #4#.

Stejnou logikou máme dvě možnosti #f (3) #ze čtyř možných možností vyloučíme ty, kterým jsme již přiřazeni #f (1) # a #f (3) #.

Můžeme definovat #G# v #4*3*2 = 24# způsobem #G# je injekční.