Jak zjistíte limit (arctan (x)) / (5x) jako x se blíží 0?

Odpovědět:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Vysvětlení:

Chcete-li najít tento limit, všimněte si, že čitatel i jmenovatel jdou na #0# tak jako #X# přístupů #0#. To znamená, že dostaneme neurčitou formu, takže můžeme aplikovat L'Hospitalovo pravidlo.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Použitím L'Hospitalova pravidla bereme derivaci čitatele a jmenovatele, což nám dává

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Můžeme to také zkontrolovat grafováním funkce, abychom získali představu #X# přístupů.

Graf č #arctan x / (5x) #:

graf {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Odpovědět:

Níže je vysvětlen zdlouhavý přístup s použitím trig.

Vysvětlení:

Jen pro případ, že byste se nespokojili s pravidlem L'Hopitalu, nebo jste mu ještě nebyli vystaveni, další přístup k řešení problému zahrnuje použití definice funkce arctangentu.

Připomeňme, že kdyby # tantheta = x #, pak # theta = arctanx #; to v podstatě znamená, že arctangent je obrácením tečny. Pomocí této informace můžeme vytvořit trojúhelník, kde # tantheta = x # a # theta = arctanx #:

Z diagramu je jasné, že # tantheta = x / 1 = x #. Od té doby # tantheta = sintheta / costheta #, můžeme to vyjádřit takto:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Použití tohoto plus skutečnost, že # theta = arctanx #, můžeme provést omezení v limitu:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

To odpovídá:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Víme, že #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; tak #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # nebo #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. A od té doby # cos0 = 1 #, limit je vyhodnocen na:

# 1/5 * limeta (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#

Jak zjistíte limit (sin (x)) / (5x) jako x se blíží 0?

Limit je 1/5. Vzhledem k lim_ (xto0) sinx / (5x) Víme, že barva (modrá) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Můžeme tedy přepsat naše vyjádření jako: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5

Jak zjistíte limit (1 / (h + 2) ^ 2 - 1/4) / h jako h se blíží 0?

Nejdříve musíme manipulovat s výrazem, abychom jej uvedli do vhodnější podoby. Pracujme na výrazu (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Vezmeme-li nyní limity, když h-> 0 máme: lim_ (h-> 0) ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4

Jak zjistíte limit (sin ^ 2 (x ^ 2)) / (x ^ 4) jako x se blíží 0?

1 Nechť f (x) = (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4 znamená f '(x) = lim_ (x až 0) (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4 znamená f '(x) = lim_ (x až 0) (sin (x ^ 2) * sin (x ^ 2)) / x ^ 4 = lim_ (x až 0) {sin (x ^ 2) / x ^ 2 * sin (x ^ 2) / x ^ 2} = lim_ (x to 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2lim_ (x to 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2 * = 1 * 1 = 1