Jak řešíte sin3x = cos3x?

Odpovědět:

Použití #tan 3x = (sin 3x) / (cos 3x) = 1 # najít:

#x = pi / 12 + (n pi) / 3 #

Vysvětlení:

Nechat #t = 3x #

Li #sin t = cos t # pak #tan t = sin t / cos t = 1 #

Tak #t = arctan 1 + n pi = pi / 4 + n pi # pro všechny #nv ZZ #

Tak #x = t / 3 = (pi / 4 + n pi) / 3 = pi / 12 + (n pi) / 3 #

Odpovědět:

Řešit sin 3x = cos 3x

Odpovědět: #x = pi / 12 + Kpi / 3 #

Vysvětlení:

Použijte vztah komplementárních oblouků:# cos x = sin (pi / 2 - x) #

#sin 3x = sin (pi / 2 - 3x) #

A. # 3x = pi / 2 - 3x # + 2Kpi -> # 6x = pi / 2 + 2Kpi -> #

#x = pi / 12 + Kpi / 3 #

V intervalu# (0,2pi) # existuje 6 odpovědí: # pi / 12; (5pi) / 12; (9pi) / 12; (13pi) / 12; (17pi) / 12; a (21pi) /12.#

b. # 3x = pi - (pi / 2 - 3x) = pi / 2 + 3x. Tato rovnice je nedefinovaná.

Kontrola

#x = pi / 12 -> sin 3x = sin pi / 4 = sqrt2 / 2 #

#x = pi / 12 -> cos 3x = cos pi / 4 = sqrt2 / 2 #

Proto sin 3x = cos 3x:

Můžete zkontrolovat další odpovědi.

Odpovědět:

#x = {(pi / 12 + (2pik) / 3), ("" barva (černá) a), (- pi / 4 + (2pik) / 3):} #

# kinZZ #

Vysvětlení:

Zde je další metoda, která má své vlastní použití.

Za prvé, poslat každou věc na jednu stranu

# => sin (3x) -cos (3x) = 0 #

Dále vyjádřit # sin3x-cos3x # tak jako #Rcos (3x + lambda) #

# R # je pozitivní realita a # lambda # je úhel

# => sin (3x) -cos (3x) = Rcos (3x + lambda) #

# => - cos (3x) + sin (3x) = Rcos (3x) coslambda-Rsin (3x) sinlambda #

Vyrovnejte koeficienty # cosx # a # sinx # na obou stranách

# => "" Rcoslambda = -1 "" … barva (červená) ((1)) #

# "" -Rsinlambda = 1 "" … barva (červená) ((2)) #

#color (červená) (((2)) / ((1)) => - (- Rsinlambda) / (Rcoslambda) = 1 / (- 1) #

# => tanlambda = 1 => lambda = pi / 4 #

#color (červená) ((1) ^ 2) + barva (červená) ((2) ^ 2) => (Rcoslambda) ^ 2 + (- Rsinlambda) ^ 2 = (- 1) ^ 2 + (1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2lambda + sin ^ 2lambda) = 2 #

# => R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

Tak, #sin (3x) -cos (3x) = sqrt (2) cos (3x + pi / 4) = 0 #

# => cos (3x + pi / 4) = 0 #

# => 3x + pi / 4 = + - pi / 2 + 2pik #

Kde # kinZZ #

Udělat #X# předmět

# => x = + - pi / 6-pi / 12 + 2pik #

Takže máme dvě sady řešení:

#color (modrá) (x = {(pi / 12 + (2pik) / 3), ("" barva (černá) a), (- pi / 4 + (2pik) / 3):}) #

Když # k = 0 => x = pi / 12 + (2pi (0)) / 3 = pi / 12 #

a # x = -pi / 4 + (2pi (0)) / 3 = -pi / 4 #

Když # k = 1 => x = pi / 12 + (2pi) / 3 = (9pi) / 12 = (3pi) / 4 #

a # x = -pi / 4 + (2pi) / 3 = (5pi) / 12 #