Jak lze použít řetězové pravidlo k rozlišení y = (x ^ 3 + 4) ^ 5 / (3x ^ 4-2)?

Odpovědět:

#color (modrá) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #

Vysvětlení:

# y # je kvocient ve formě #color (modrá) (y = (u (x)) / (v (x))) #

Deferentace kvocientu je následující:

#color (modrá) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

Najdeme # (u (x)) '# a # (v (x)) '#

#color (zelená) ((u (x)) '=?) #

#u (x) # je složena ze dvou funkcí #f (x) # a #g (x) # kde:

#f (x) = x ^ 5 # a #g (x) = x ^ 3 + 4 #

Musíme najít řetězové pravidlo #color (zelená) ((u (x)) ') #

#u (x) = f (g (x)) # pak

#color (zelená) ((u (x)) '= f' (g (x)) * g '(x)) #

#f '(x) = 5x ^ 4 # pak

#f '(g (x)) = 5 (g (x)) ^ 4 #

#color (zelená) (f '(g (x)) = 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (zelená) ((g (x)) '= 3x ^ 2) #

Tak,# (u (x)) '= 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4 * 3x ^ 2 #

#color (zelená) ((u (x)) '= 15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (červená) ((v (x)) '=?) #

#v (x) = 3x ^ 4-2 #

#color (červená) ((v (x)) '= 12x ^ 3) #

Nahraďme nás #color (zelená) ((u (x)) '# a #color (červená) ((v (x)) '# v #color (blue) y '#

#color (modrá) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#y '= (barva (zelená) (15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) * (3x ^ 4-2) -color (červená) (12x ^ 3) (x ^ 3 + 4) ^ 5) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= (((x ^ 3 + 4) ^ 4 15x ^ 2 (3x ^ 4-2) -12x ^ 3 (x ^ 3 + 4) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 45x ^ 6-30x ^ 2-12x ^ 6-48x ^ 3) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (45x ^ 6-12x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

Proto, #color (modrá) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #